sinx 平方，也就是 sin²x，这玩意儿在微积分里简直是个绕不开的坎儿，特别是为了求导，时常让人消化不良。我自己一启动也搞不定，总认定这简直就是 sin x 和 cos x 在打架，把两个函数硬生生叠在一起，再乘个系数 2。
后来想通了一点，实际上这跟求导那个“乘积法则”没忒大关系，更像是在玩数字游戏。 想象一下，sin x 是个机智的窃贼，每次偷东西（取值）的时候，它都要大声喊一声，那是它在告诉你自己目前的状态，也就是说当前 sin x 等于啥。sin x 的导数，实际上就是那个窃贼手里的“变化率”表，它告诉你，当小偷略微偷得紧一点，要么有点偷懒的时候，他的偷窃速度到底快不快。根据那个著名的链式法则，sin x 的导数就是 cos x，这还不好办，直接拿那会儿抄就行。 那为啥 sin² x 就不中了呢？出于这里多了一个平方号，相当于在这个窃贼的头顶上盖了一层厚厚的混凝土顶。目前窃贼不仅要偷东西，还要忍着这个混凝土层带来的阻力，它的速度表读数得乘以 2，这就是那个系数 2。目前难题来了，这个“混凝土层”本身还在变，它在变，它的变率就是那个 sin x 的导数，也就是 cos x。
故此，你不能直接拿 sin x 的导数去乘，你得看着它动起来，跟着它的变率走。
这就好比你在爬楼梯，你不仅要看脚下台阶（sin x）的高度变化，还得看楼梯自己是不是在变高（cos x 的导数）。 为了把脑子拧回来，我拿几个具体的例子来掰扯一下，看看能不能把这团乱麻理顺。 比如，当 x 等于 0 的时候。
这时候慢慢凑一凑，sin x 的值是 0。
既然 sin x 是 0，那它的导数也就等于 0 了，出于它是平滑地滑过 0 点的。再看看 sin² x，它是 0。
那它的导数得是 0 吗？让我算算。用公式 (sin x)' 2sin x，把 x=0 代入，就是 cos 0 乘以 2 乘以 sin 0。cos 0 是 1，sin 0 是 0，故此结局确实是 0。
看来在这一瞬间，两个变化都没了，彻底没动静。 再试个极端点，x 接近 0 的时候，比如 x 是 0.1 弧度。
这时候 sin x 大约是 0.105，sin² x 大约是 0.011。它的变化率是多少呢？算一下导数公式：2 sin(0.1) cos(0.1)。0.1 弧度大约等于 5.7 度，sin(5.7°) 大约是 0.1，cos(5.7°) 简直是 1。
故此大约是 2 0.1 1 = 0.2。
你看，这个值跳动了，从 0 变成了 0.2。
这说明在 0 附近，sin² x 的曲线是个快速上升的，它不是静止的，它是有冲劲的。
要是我用数值法逼近，当 x 取 0.1 时，函数值 0.011，它斜率大约是 0.2，那下一秒 x 变成 0.1001 的时候，函数值应当变成多少？大约是 0.011 + 0.2 0.0001，也就是 0.01102。
这说明函数正在以大约 0.2 的速度陡峭地爬升。 再换个角度，要是 x 是 π/2，也就是 1.57 弧度。
这时候 sin x 变成了 1，sin² x 变成了 1。它的导数是多少？2 sin(π/2) cos(π/2)。cos(π/2) 等于 0，故此整个式子变成了 0。啥意思呢？意思就是，在 π/2 这个点上，sin² x 的曲线是平滑过渡到 1 的。
你看它像一个爬坡终于顶到头了，在山顶上，左右往左看是往下降（导数为负），往右看是往上升（导数为正），但在正负之间，它是光滑衔接的，没有尖锐的折角，故此它的瞬时变化率确实是 0。
这是大量初学者好办忽略的，当作在峰值处导数肯定非零，实际上不一定，取决于它是如何平滑到达峰值的。 还有一个有意思的视角，我们能够用二重极限去理解。
要是你给 x 加一个 ε，让 x 往正方向走一点点，sin² x 的斜率就是 2sin(ε)cos(ε)；要是往负方向走，斜率就是 -2sin(ε)cos(-ε)。当 ε 趋近于 0 的时候，这两个值都趋近于 0。
这就说明白，在 sin² x 的曲线上，x=0 并不是一个陡峭的悬崖，而是一个平坦的谷底，它是三条曲线（sin x, -sin x, sin² x, -sin² x）共同交汇的那个点。 实际上，求导这种难题，大量时候不是死记硬背公式就能通的，得学会看“图”。sin² x 长得像抛物线的一小局部，像个拱形。
那个系数 2 就是它拱起的力度，而 cos x 就是它弯曲的形状。当你把这两个东西结合，凑在一起，往往最终会消掉一些复杂的项，留下一个挺简洁的结局。
比方说，在 x=0 附近，sin x 能够近似看作 x，sin² x 就近似看作 x²，这时候它的导数就是 2x，这在局部看起来和刚刚算的极限值 0 是一样的直觉。
要是 x 挺大一点，比如 x=1，sin x 已经接近 0.848，这时候 sin² x 的值就是 0.72，它还在慢慢爬升，并没有停下来，导数那个 0.2 的数值也是合理的。 最终总结一下，sin x 平方的导数，本质上就是 2 sin x cos x。
那个 2 是出于两层叠加，cos x 是出于内层函数的变化率，而 sin x 是出于外层函数的变化率。
只要你不把它当成一个死死的整体，而是当成两个正在互动的函数，你会发现这个难题实际上没那么吓人。别看公式是 2sinxcosx，但在特殊点比如 0 或 π/2 处，它的行为会表现出奇异的平滑性，有时候你会认定它突然“消亡”了，但实际上那是它的速度表归零了，而不是它停下来了。下次再遇到这种题，别急着拿计算器，先把手往桌上一拍，看看这函数是不是在跟你打招呼，它到底想表达啥。