1 的算术平方根是个让人愣神的难题。大量人第一反应怕是“零”，毕竟 $0 times 0 = 0$，这是最直观的。但仔细一琢磨就不中了，出于算术平方根有个严格的定义，得是正数。 这就好比问“一米的长度是多少”，要是只说“零”米，那这米根本不存有，长度彻底没数。在数学的世界里，$0$ 是平方根里的“隐形选手”，但算术平方根它务必得是“显身”的，也就是正数。
故此，答案就是 $1$ 本身。 除了 $1$，$-1$ 也是平方根，$(-1) times (-1) = 1$，没错。但算术平方根特指那个正的根，像根号符号 $sqrt{}$ 下面那个小撇，就是为了提醒你不能负数。
故此，1 的算术平方根只有一个，那就是 1。 再换个角度想，这就像解一元二次方程 $x^2 = 1$，两个解分别是 $1$ 和 $-1$。但我们要的是“算术”平方根，这词儿一听就是“有数、为正”的意思。数学界有个共识，算术平方根务必是非负数。
既然 $1$ 和 $-1$ 里只有一个是正的，那答案自然就是正的那个，也就是 $1$。 实际上，从这个角度去推，会发现大量东西都是如此“独”。
比方说，任何正数的平方根都有两个，正负各一个。唯独算术平方根，它只认正数。0 除外，0 的平方根只有 0，没有正根，没有负根。
故此，当我们说 1 的算术平方根时，我们就像是在给一个东西找它的“正对立面”或“正面形象”，结局发现它自己就是最完美的正数代表。 这个结论在解题技巧里实际上挺好用。解方程 $x^2 = 1$ 时，不需求二项式展开要么求根公式，直接就能看出两个根。
要是题目非要问“平方根是多少”，那得说两个数，是 $1$ 和 $-1$。但要是问“算术平方根是多少”？瞬间就卡住了，得选正数，那就是 $1$。 有时候，数学题不会直接告诉你答案，而是让你自己琢磨出题人的意图。
比方说，看到 $sqrt{1}$，大量人第一反应是 $1$，这彻底没难题，就连能够说挺标准。但要是换成 $sqrt{0}$，那答案就是 $0$，出于它只能是 $0$。从 $1$ 到 $0$，变化挺小，但概念上跨度挺大。 这就引出了个有趣的对比。
要是我们问 $-1$ 的算术平方根，这难题本身就有歧义。出于 $-1$ 本身就是个负数，它的平方根是虚数 $pm i$，而算术平方根定义在非负数范围内。
故此，对负数求算术平方根，在常规实数域里是没有意义的。但这不妨碍我们在聊聊过程中间或抛出这句话，看看对方的反应——“哦，你是想问虚数单位，还是根本就没意义？” 再举个例子，比如 $25$ 的平方根。同样是平方根，那就是 $5$ 和 $-5$。但算术平方根就是 $5$。
你看，数字越大，算术平方根看起来越“大”，并且一直正的。
这种直觉别看不严谨，但在日常估算里可能有点用。
比如估算 $sqrt{100}$，大约认定是 $10$ 到 $11$ 之间，毕竟 $10 times 10 = 100$，$11 times 11$ 略微偏大了点。 还有，平方根和算术平方根的区别，就像“有”和“有且为正”的差别。一个物体有重量，就算负数重量也没意义，但正数重量自然有。$1$ 的平方根自然有两个，但它的算术平方根只有一个，就是它自己。 从历史角度看，为啥目前大家都如此约定俗成？古代可能就有类似的想法，正解是 $1$，负解是 $-1$。
后来牛顿、莱布尼茨这些人搞微积分的时候，为了形式上的优雅，把正根单独拎出来，给它起了个名字，叫“算术平方根”。
从此赶明儿，一看到这个称呼，大脑立马就会排个座：第一个是正根，第二个是负根。 再想想实际应用。在工程计算里，根号符号后面的数字代表我们要算的数。$sqrt{25}$ 就是 $5$，不是 $-5$。在计算机编程里，大量库函数专门把正根标出来，负根标在另一个变量里，避免混淆。
这实际上就是把数学定义搬到了代码逻辑上。 最终，总结一下。1 的算术平方根是 $1$。
这听起来忒好办了，仿佛没啥深意。
实际上啊，这好办里藏着不少东西。它告诉我们，有些数字就是它们自己。有些概念就是“正数”这个属性。当我们要找“正根”的时候，答案往往就藏在那儿没跑。 故此，下次看到 $sqrt{1}$，别再想那些复杂的推导过程了。直接看答案就行，$1$。出于算术平方根就是正的那一个，而 $1$ 本身就是正数。
这就够了，就是如此好办。