要算 15 的平方根，我第一反应是想想这会不会是个啥整数的平方。
比如 1 的平方是 1，4 的平方是 4，9 的平方是 9，那是个十位数，15 平方肯定得是 200 多。2 的平方是 4，3 的平方是 9，4 的平方是 16，哎，4 的平方已经接近 15 了，那 5 的平方就是 25 了。
故此在整数范围内，15 根本就是一个怪的数，它是个质数，没法开平方根出来个整数。 咱们得换个思路，把它跟那个著名的 2 的平方根算法比划比划。2 的平方根，我记得算法里有个技巧，是把 2 看成 1 加 1，先算 1 的平方根是 1，剩下个 1 就变成 1 除以 1，加上刚刚算出来的 1，结局是 2。
这仿佛挺像模样的，15 没有如此巧。
那能不能用类似的步骤？15 除以 15 等于 1，1 除以 1 等于 1，1 加 1 等于 2，结局就是 2？不对，这个思路是近似值，并且忒快了，彻底不符合平方根的性质，2 的平方是 4，远小于 15，肯定不对。 得老老实实用那个常用的牛顿法要么长除法思路。先把 15 拆成整数局部，那就是 14 点几。出于 3 平方是 9，4 平方是 16，故此根号 15 肯定在 3 和 4 之间，靠近 3。具体算的话，设 $x_0 = 3$。先用公式 $x_1 = frac{1}{2}(x_0 + frac{15}{x_0})$ 来试算。代进去就是 $frac{1}{2}(3 + frac{15}{3}) = frac{1}{2}(3 + 5) = 4$。
哎，哎哟，猜到了！一阶近似值直接长到了 4。 但这差得有点远啊，4 的平方是 16，比 15 大了一点点。说明真值应当在 3.88 左右。
那再迭代一次，用 $x_2 = frac{x_1 + frac{15}{x_1}}{2}$。把 4 代入，$frac{1}{2}(4 + frac{15}{4}) = frac{1}{2}(4 + 3.75) = frac{1}{2}(7.75) = 3.875$。
哇，这就挺准了。3.875 的平方是 15.0156，比 15 略大，说明真值确实是 3.87298……。 在 Python 里的话，要是想求高精度的平方根，Python 供给了 `math.sqrt` 函数。输入 15，直接回车，它就回一个浮点数。
要是是整数运算，比如我要算 $x$ 知足 $x^2 = 15$ 且 $x$ 是整数，那答案是“无整数解”。但在物理要么工程实际中，比如算一个物体的能量要么某种比例因子，时常需求这个值，这时候就得用非整数结局了。
有时候为了精度，还会用 ` 0.5` 这种幂运算。 实际上就算 15，在绝大多数情况下我们也不去追求那无尽的循环小数，出于它本身就是无理数，无限不循环。拿 100 来说，它的平方根是整数 10；拿 121 来说也是 11。但 15 这种数字本身就没法被“整除”。在编程面试要么正规考试中，要是题目问“15 的平方根是多少”，且没有特殊说明，一般默认是实数解。
要是是问整数呢，那答案就是“不存有”。
不过，从数学分析的角度看，15 的平方根确实是一个准存有的实数，只是我们一般用小数近似来表示它。 有人说 15 的平方根大约是 3.87 要么 3.88，这是出于四舍五入造成的误差。
实际上，它更精确的表示是 $3.87298 + 0.00001...$。在计算器上输入 15 开根号，拿到的是 3.8729833462074168...。
要是你是在做题，那时候就要看题目是不是在考察无理数的概念，还是在做近似计算。
要是是估算，3.87 肯定对；要是要精确值，那就只能用小数表示，并且一辈子写不出个句号，出于它是个循环小数。 另外，有时候大家会混淆平方和平方根。平方是 15 的 15 次方嘛，肯定是个大数；平方根是开 2 次方，就变回个几百要么几十。15 的平方根不是 15，也不是 7.3 左右，而是 3.87 左右。
这个区别挺关键的，万一你在写报告要么做实验数据的时候搞混了，那就画蛇添足啦。 再想想，有没有啥特殊情况？比如复数域里的平方根。在复数范围内，15 有两个平方根，一个在实数轴上，就是 3.8729...；另一个在虚数轴上，是负的 3.8729...，虚数单位是 $i$。数学上这叫共轭虚数对，写出来是 $pm sqrt{15} i$？不对，共轭虚数对是 $pm i sqrt{15}$。
什么的，15 是正数，它的平方根一个是实数，一个是虚数。实数那个就是 $sqrt{15}$，虚数那个是 $isqrt{15}$。
反正库函数 `cmath.sqrt(15)` 回的是实数，`cmath.sqrt(-15)` 才会回虚数。 总而言之，回到 15 本身。作为一个整数，它没有平方根（指整数根）。作为一个有理数，它也没有平方根（指有理数根）。它确实是一个无理数的平方根对应的数值，具体数值约为 3.87298。在考试要么日常使用中，要不就非要强调精度，否则大家都会直接说“约等于 3.87"。
这种表达方式既准又实用。