嘿，你问 2 的平方根是多少，这难题听着挺好办，但真要掰开了揉碎了算，咱得先聊聊这数字到底是个啥玩意儿。
你想想，要是是正数，那 2 的平方根就是 1.414……这串小数在计算器上按出来就停不下来，出于根号 2 是个无理数，落在实数轴上就停不住。 别急着跟我讲啥定义定理，咱们直接来点实打实的计算。想象一下，要在一张无限长的纸上画两个连起来包个圆的圆，那个圆的周长要是 2，那这个圆的半径到底是多少呢？这就是求 $sqrt{2}$ 的题。咱们能够用消元法来解，假设 $x = sqrt{2}$，那 $x$ 的平方就是 2。直接解方程 $x^2 - 2 = 0$ 的话，用求根公式得 $x = pmsqrt{2}$，故此正根就是 $sqrt{2}$。但这玩意儿没法开方，得靠估算要么特殊的数值迭代。 咱别用那些冷冰冰的推导，咱们来点生活化的。平方根啊，说白了就是一个数 $a$，它的平方等于 $n$。
那 1.414 的平方是多少？算一下，$1.414 times 1.414$，大约等于 2.000。再试 1.42，$1.42 times 1.42$ 就约等于 2.016，已经偏大了。要在 2.000 和 2.016 中间找个最接近的数，1.4142 就差不多了。
这就好比你要在两个选项里选一个，1.414 更接近 2 本身，出于它的平方比 1.42 更接近 2。
这就是如何算出来的逻辑，不是背公式，是找到那个“刚好够”的数。 实际上跟平方根有点神似，这还叫啥“黄金分割”的变体呢？出于 $sqrt{2}$ 约等于 1.414，而 141.42 除以 100 还是 1.4142，跟黄金分割比 1.61803... 没啥直接关系，别瞎扯。但 $sqrt{2}$ 这个数字本身挺有意思，它就像个顽固的小数，每次多取一位，那误差曲线都是凹下去的。 说到这儿，咱得算算看，2 的平方根到底是个啥样。它是无理数，意味着它既不是整数，也不是有限小数，更无法用分数精确表示。它是不是无限不循环小数呢？答案是肯定的。一旦你算出前三位 1.414，后面一辈子有数字接着，并且这些数字交替出现，既不会像 $pi$ 那样循环，也不会像 $1/3$ 那样只是 3 后面跟 0 循环。你没法写出最终一个数字，出于它忒“散”了。 在实际工程要么科学计算里，啥时候会用到 2 的平方根？最典型的例子就是勾股定理。直角三角形的两条直角边长都是 1，那斜边长就是 $sqrt{2}$。画个图你就明白了：画一个边长为 1 的正方形，连接相邻两个顶点的对角线，这条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形。
这时候，斜边上的直角就是 $sqrt{2}$ 乘以 1。 再换个角度想，要是我们在二进制世界里看 2。2 本身就是 $10_2$，二进制下 2 等于 $1 times 2^1 + 0 times 2^0$。
那 $sqrt{2}$ 在二进制里如何算？2 的二进制表示是 $10$，它的浮点数表示一般是 $1.1 times 2^0$。要开平方，实际上就是把指数减 0.5，把尾数处理一下。$sqrt{2}$ 在二进制里是 $1.1414213562373095048801688724209698078569671875...$ 这个列表一眼就能看出前 20 位：1.14142135623730950488！
注意，这里的二进制小数点后面是 .14142...，跟十进制的 .414... 不忒一样，但量级是对的。 这跟科学计数法也有点关系。$sqrt{2} approx 1.414 times 10^0$。
要是你要把这个数改成科学计数法，就是 $1.41421356... times 10^0$。
有时候在计算机做浮点运算时，为了精度，我们会保留几十就连上百位小数。
比如 16 位浮点数的标准，$sqrt{2}$ 会被存成 1.1414213562373095048801688724209698078569671875... 这样的形式，后面还有无数位剩下的。
要是你把小数点往左移一格变成 .14142135623730950488...，那对应的指数要变成 -1，这时候再乘以 $10$ 才能还原回原来的数值。 实际上深层来看，无理数这几个概念是锁死在一起的。无理数就是不能开方拿到有理数的数。$pi$ 是个无理数，$sqrt{2}$ 也是。但为啥它是无理数呢？这可是个哲学也是数学的难题，得靠反证法来证明。假设 $sqrt{2}$ 是有理数，那它能够写成既约分数形式 $a/b$（$a, b$ 互质，$b neq 0$）。平方后就是 $a^2/b^2 = 2$，即 $a^2 = 2b^2$。
这意味着 $a^2$ 能被 2 整除，那 $a$ 也能被 2 整除。
既然 $a$ 能被 2 整除，那 $a$ 起码有两个因子 2，那 $a$ 就不是既约分数了，这就矛盾了。
故此 $sqrt{2}$ 不可能是分数，它就是无理数。 搞懂了这一点，那计算过程就顺理成章了。
要是你强行去算 2 的平方根，你拿到的结局一定是一个无限不循环小数。你不可能写死它的个位数，它就是个一辈子在跳动的无限序列。
这就是为啥我们在日常交流要么编程里，习惯用近似值，比如 1.41 要么 1.42，而不是确实去写那个不知道下一位是多少的数。 还有啊，有时候我们会说 2 的平方根是根号 2，记作 $sqrt{2}$。
这在数学里叫根式形式，是另一种表达它的方式，跟小数形式是并行的。根号 2 这个符号本身，设计的时候就是为了表示“开平方根”这个动作，说明它不是平方根本身，只是代表一个特定的数值。 最终再探讨一下，2 的平方根有没有其他表达？比如写成 $2^{1/2}$ 要么指数形式 $e^{ln 2 / 2}$。指数形式能够用来证明它是无理数，比如 $e^{ln 2 / 2}$ 展开成级数计算，能不能拿到 1.414... 我算不出来，反正它是无理数。但归根结底，一个数是不是无理数，不取决于你如何写它，而取决于它能不能被分割成有限段。2 的平方根就是那种一辈子分不开的数，它顽固地存有，一辈子不落在有理数那个坑里。 故此说，2 的平方根就是那个一辈子在 1 和 2 之间跳动，比 1.414 要大一点点，比 1.415 要小一点点的数。它没有终点，也没有终点前的标记，它就是个纯粹的数字自由度。下次算这个的时候，你就知道它不是死板的结局，而是一个有生命力的无限序列了。