咱们不整那些套话，直接上干货。13 的算术平方根，就是 3.60555...，是个无限不循环小数。
这就跟 100 的平方根不一样，100 的根是整数 10，但 13 这个数字是个“丑数”，没法被开方得出来。 那它到底多重呢？肯定得比 3 大，出于 3 乘 3 才等于 9，差得有点远，但 4 乘 4 是 16 了，这就超了，故此根肯定在那儿，介于 3 和 4 之间。具体是个啥数，咱们得靠估算和逼近法。先说 3.6，3.6 乘 3.6 等于 12.96，离 13 还差一点点，大约 0.04 的位置。
那要是往 3.61 靠呢？3.61 乘 3.61 是 13.0321，这就过头了。说明根比 3.61 小点，就在 3.61 和 3.6 之间夹着。 为了更精确，咱们能够拆开来算。3.605 乘 3.605，尾数这块如何算？6 乘 6 是 36，进位变成 6，3 乘 6 是 18，加上 6 是 24，再进位变成 4，什么的，最终 4 乘 4 得 16，进位变成 1，3 乘 5 是 15，加 1 是 16，进位变成 1，最终 1 乘 1 得 1。
哎不对，这手滑好办出错。换个法子，用 3.60555... 去乘自己。整数局部 3 乘 3 是 9，小数局部 .60555... 得乘以 3 变成 1.81666...，再加 9 是 10.81666...。小数点后第一位，也就是 6，6 乘 3 得 18，加 9 是 27，进位 2，不够 10 了，不够加整数，不够进位，得带进位那会儿的。
这一套下来，数字启动无限长了。 实际上你根本不需求一辈子死背这串小数。
只要知道根号 13 是个无理数，你只要知道它比 3.6 大，比 3.7 小，就能应付大量常规估算。
比如你目前要算 13 的平方根，能够把它看作 360555... 除以 100000...，要么直接用计算器。计算器就是个工具，能给你算出充足多位的小数，比如 3.60555127546...，要是你只是想知道大约范围，3.6 要么 3.605 就充足了。 咱们再聊点别的，看看 13 在数论里的地位。13 是最小的质数吗？不是，2 就是。在自然数里，哪个数和它俩素数最接近呢？有 2 和 3，差 1；有 3 和 5，差 2；有 5 和 7，差 2；有 7 和 11，差 4；有 11 和 13，差正好 2。
故此 13 是它自己，和它相邻的奇素数距离最近，它是个“自合素数”之类的理论概念里的特例，别看这些名词听着拗口，但数学上都有定义。 那 13 的平方根在几何上意味着啥？要是在直角三角形里，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就是 5，这是勾股定理的整数解。但要是直角边是 3 和 13？那斜边就是 17。
要是直角边是 3 和 5？那斜边是 8。
实际上 13 的平方根在构造特殊三角形的时候极少直接用到，出于没法用勾股数，都是小数。
不过它是无理数，这挺好，出于大量实际难题里不需求精确到小数点后几位，只要知道它介于 3 和 4 之间就行。 再说说它的实数性质。13 是正数，故此它的平方根也是正数，这就是取算术平方根的意义。
要是你负了，比如 -13，它的平方根是虚数，i 乘 3.60555...，这在工程计算里有时候要用到，但在初中数学题里就是个负数。 那有没有可能 13 的平方根是个分数？不可能。有理数里只有正数和负数，但 13 的平方根一辈子一辈子不可能是有理数。出于要是 x 是有理数，那 x 的平方就是有理数，但 13 不是彻底平方数，根号下开不尽。 你想想，要是把 13 写成两个数的乘积，肯定不可能拿到两个整数去掉小数局部。
比如 3.60555... 乘以 3.60555... 等于 13，这个等式里，3（整数）乘以 3 得 9，剩下 4（小数），4 乘以 4 得 16，进位 1，3 乘以 5 得 15，加 1 得 16，进位 1，1 乘以 1 得 1，剩下的 1 没法再整除，这就卡住了，无穷无尽。 故此说，13 的算术平方根就是 3.60555127546398...，它是个无限不循环小数。
这就是有理数的根本特征之一，也是实数系统里挺特别的存有。
要是你是在做题，遇到这种题，要不就题目要求精确到小数点后几位，否则答案就是“算术平方根不存有”要么用近似值。但在生活中，别纠结这个了，3.6 要么 3.606 这种近似值就能解决难题。 最终总结一下，13 的算术平方根就是它自己乘以它等于 13 的那个数，是个无理数，没法写成分数，是个无限不循环小数，大约等于 3.60555...。
记住，只要知道它介于 3 和 4 之间，并且不是有理数，你就掌握了它的大致面貌。
这就是数学分析里常说的，数与数的关系，有时候看似好办，实际上藏着无限复杂的逻辑。