1 的平方根是多少？这难题听着好办，但数学界的坑比韭菜还深。 实际上从小学就喊过无数次，结局高中一上勾股定理要么复数，这概念仿佛就被按在地上摩擦。大量人认定平方根就是 1，出于 $1^2 = 1$。但在数学世界里，1 的平方根并不止一个，它是一个对偶集合。
严格来说，$pm 1$ 才是它的全体平方根。
这就像问“一等于几”一样，答案可能是正数一，也可能是负数 -1，但人们一般只记懵了。 要理解这个“双生子”，你得先搞清楚平方运算和开方运算是互逆的。
一般人脑里有个本能，看到 4 就飞快想“2 乘 2 是 4"，看到 9 就悟出“3 乘 3 是 9"。
这种直觉在实数域里够用了，但在更高维度的数系面前，它立马就失效了。 举个具体的例子，要是你要计算 $sqrt[4]{16}$，你会本能地算出 2。
没错，$2^2 = 4$，而 $4^2 = 16$。
故此 16 的算术平方根确实是 2。但反过来，16 的四大平方根是啥？它们分别是 $2, -2, 2i, -2i$。
这就像问“10 的平方根是多少”，除了 3.162... 以外，还有它的负根，自然还有在虚数域里的根。 1 的平方根之故此特殊，是出于它既是奇数也是偶数，它既是自幂又是自幂的自幂。在实数范围内，它只有一个算术平方根，即 1。但在复数平面里，整个圆周 $|z|=1$ 上的点，要么知足 $z^2=1$，要么知足 $z^2=-1$。
这里有个挺烧脑的点：复数规则里，$i^2 = -1$，故此 $i$ 的平方根也不输给 $pm 1$。
实际上 $i$ 的平方是 $-1$，那 $i$ 的平方根就是 $1, -1, frac{1pm i}{sqrt{2}}$ 这一堆。 说到 $pm 1$，我们往往只把它当成数字游戏。但在分析学和拓扑学里，这俩数字是基石。
比如在复变函数里，$f(z) = frac{1}{1-z} - frac{1}{1+z}$ 在 $z=1$ 处有一个本征点，而在 $z=-1$ 处则形成奇异性。
这两个点互为对偶，就像镜子里的自己。 大量人好办混淆平方根和立方根。
比如问“1 的立方根是多少”，一般/平平人简直都会脱口而出 1。但数学上，1 的立方根有三个：$1, e^{i 2pi/3}, e^{-i 2pi/3}$。
这就像问“1 的二次根”一样，有三个解。
只有当指数是偶数时，才一般只取那个大于 0 的实数解。 再深挖一层，1 的平方根实际上是指数函数 $e^x$ 的根。出于 $e^{ln(1) + 2pi i k} = e^{ln 1 + 2kpi i} = e^0 cdot e^{2kpi i} = 1$。
故此，1 的平方根除了实数域里的 $pm 1$，在复数域里还有 $1, e^{2pi i/3}, e^{-2pi i/3}$ 这三个。别看它们模长都是 1，角度却不一样。 这就引出了个有趣的认知误区：我们习惯说"1 的平方根是 1"。
这就像说“忒阳的圆心是地球”一样，别看地球离忒阳近，但忒阳本身是个球体，它的表面上的每一个点都能够看作圆心。数学上，1 的平方根就是所有模长为 1 的复数。 实际上，1 的平方根难题，本质上是寻找单位圆上的根。单位圆上的点忒多了，每一个 $e^{i theta}$ 只要知足 $theta$ 是 $pi$ 的整数倍，它的平方都是 1。
故此 1 的平方根有无数个，它们只是像硬币一样，旋转着排列在圆周上。 我们日常使用 1 的平方根，往往是在做估算。
比如当 $x$ 贼接近 1 时，$sqrt{x}$ 会挺快逼近 1。但在精确计算中，特别是处理无理数逼近或数值分析时，这不只是是算术，更是代数结构的一局部。 最终总结一下，1 的平方根在实数域里就是 1，在复数域里就是 $pm 1$ 和另外两个复数单位根。
这并不怪，数学里大量看似好办的数字，一旦脱离现实语境，就像洋葱，剥开一层又一层，发现底下全是绕不开的公式和定义。下次再遇到“1 的平方根”，别急着填"1"，多问一句“在哪个数域”，答案可能就豁然开朗。
毕竟，1 的平方根，就是那个既稳固又飘忽的支点。