要算出 $sqrt{9}$ 的算术平方根，咱们得先甩开脑袋，把那些死记硬背的公式扔到一边。算术平方根这个概念，听起来有点玄乎，实际上说白了就是“哪位两个相乘能变回 9"。 起初，我们直接看看 9 是个啥数。它是 3 的平方，$3 times 3 = 9$。
故此 9 的算术平方根不是 3，而是 3 本身。
这里有个细节，出于 9 是个彻底平方数，它的平方根有两个，分别是 3 和 -3。但题目问了“算术”平方根，这就选定了正的那个，就是 3。
这没啥好大惊小怪的，就像问“哪位长得像张三”，你肯定选个长得像张三的人，而不是张三自己。 我们要找的是 3 的算术平方根。把这个数字 3 放在计算器要么纸笔上，按动那个开方键。大量人脑子里会跳出一个数字，可能会认定是 $pmsqrt{3}$，要么认定是 1.732。
这时候得克制住那个偷偷想“是不是近似值”的念头。算术平方根，特指那个非负的平方根。
故此，$sqrt{3}$ 这个值本身，它有没有平方根呢？ 这就有点复杂了。$sqrt{3}$ 本身就是一个无理数，它无限不循环。根据你的要求，咱们需求算出它（也就是 3 的算术平方根）的算术平方根。
这就等于求 $sqrt{sqrt{3}}$，要么写成 $3^{1/4}$。 为了让你心里有个数，咱们得拿点具体的例子来说讲话。想象你在做某种数学游戏，比如拆盒子要么分苹果。
要是你手里有 9 个苹果，你切成了 9 份，每一份是 $sqrt{9}=3$。目前，你又把这份 3，再切成 2 份（出于开方根指数是 4，分母是 2，相当于割开两次），那每一份就是 $frac{sqrt{3}}{2}$ 吗？不对，逻辑反了。 我们要找的是 $x$，使得 $x^2 = sqrt{3}$。出于 $sqrt{3}$ 约等于 1.732，那 $x$ 的平方就是 1.732。
既然 $x$ 务必是非负数，那 $x$ 肯定比 1 大一点小。我们不妨猜一个数，比如 1.3。1.3 的平方是 1.69，这就比 1.732 小了。
那肯定更大的。试试 1.32，$1.32^2 approx 1.7424$，这就忒大了。
这就说明答案在 1.3 和 1.32 之间。实际计算下来，$sqrt{sqrt{3}}$ 确实是一个介于 1.2 和 1.3 之间的无理数，大约是 1.26 左右。 这里要特别注意，大量人好办犯的毛病是把 $sqrt{3}$ 和它的平方搞混。
比如有人会误当作 $sqrt{3}$ 的平方根是 $sqrt{sqrt{3}}$ 还是 $sqrt{3}$，要么干脆直接回答 3。根据题意，题目问的是“$sqrt{9}$ 的算术平方根”，这是一个标准的数学链反应。
第一步 9 开方得 3，第二步 3 开方得 $sqrt{3}$。
故此答案就是 $sqrt{3}$ 这个数。它不是一个整数，而是一个需求无限循环开方才能稳定的数。 为了更直观地展示数据的分布，我们能够做个好办的对比实验。假设我们要找 $sqrt{9}$ 的算术平方根，我们能够列出三组数据来看看规律。 第一组是 $sqrt{4}$ 的算术平方根。$sqrt{4}=2$，再开方就是 $sqrt{2} approx 1.414$。 第二组是 $sqrt{16}$ 的算术平方根。$sqrt{16}=4$，再开方就是 $sqrt{4}=2$。 你会发现，数字 9 处于一个完美的中间位置，它既是 4 和 16 的平均数，开方后恰好回到了 2 的平方根位置。 再来看一个反例，要是题目问的是 8 的算术平方根，那就是 $sqrt{8}$。$sqrt{8}$ 约等于 2.828。
这时候它的算术平方根就是 $sqrt{2.828}$，大约等于 1.681。你会发现，随着底数的增大，结局并没有线性增长，而是呈现出指数级（开方级）减小的趋势。
这就是为啥计算机在计算这种无理数时，一辈子得不到一个精确的十进制小数，而是一个循环小数要么分数。 在实际操作中，要是你需求用代码要么计算器来验证，你能够输入 $sqrt{sqrt{9}}$。大量现代工具赞成符号计算。你输入 $sqrt{9}$ 拿到 3，系统立马提示“3 的算术平方根”。
要是你再输入 $sqrt{3}$，系统会显示“3 的四次方根”。
这就是数学语言最精妙的地方，它把嵌套的层级表达得贼清楚，不需求任何富余的文本修饰。 有些同学可能会纠结，说“算术平方根只有正数”，那负数的情况呢？比如 $sqrt{-4}$。
这在初中范围内是不存有的，出于负数没有实数平方根。但在 $sqrt{9}$ 和 $sqrt{3}$ 的世界里，所有数字都是正实数，不存有虚数的费事。
故此，我们只管在正数 Domain 里玩。 最终总结一下，$sqrt{9}$ 的算术平方根，第一步化简拿到 3，第二步对 3 开方。最终的答案就是 $sqrt{3}$。
这是一个无理数，无法用有限个数字精确表示，它的值约为 1.245。它就像是一层又一层的洋葱，剥开第一层拿到 3，再剥开这层，又拿到 $sqrt{3}$。
没有尽头，就在这无尽的递归之中。
不要试图给一个无理数起个整数名字，也不要断言它等于某个好办的分数。
那个位置，只放得下那个最本质的 $sqrt{3}$。