tan 的平方？别在那儿找正解，ta 是个压根就“说不到一起”的鬼。 你瞧，tan 是啥意思？它叫正切，就是那个啥，在直角三角形里，那个角对着的对边长度，跟它自己邻边的长度一比，除出来是多少。
这玩意儿在电脑大 V 圈子里常年霸榜，人称"tan 哥”。哥，你要是拿它来跟别的数学玩意儿比，那简直是在跟零分选手对话。 先说个最直观的：当那个角是个 45 度的时候，对边和邻边这就齐头并进，哪位也没占优势。
这时候 tan 的值就是 1。你要是这题做错了，那叫大错特错；做对了，那叫“我悟了”。 再换个角度，假设你站在一个 30 度角的门口。对边是几呢？邻边又是多少？这题你算半天，结局就是 $frac{sqrt{3}}{2}$。
这时候，tan 的值就是那个被开方数除以 2。
这就听得人一头雾水，仿佛 tan 是个会变魔术的数，你喊它一声，它立马就能变出 $sqrt{3}$ 来，要么变成 3。 实际上，大量时候我们根本懒得算。出于 tan 的平方，也就是 tan²，它往往直接等于 1，要么它等于某个挺丑的分数。
比如 cot 的平方，也就是 $frac{1}{tan^2}$，那直接就是 $frac{1}{1}$，也就是 1。
你想想，cot 和 tan，这就是一对好兄弟，一个高，一个矮，加起来总长度是无穷大，但这俩的平方和，那等于 2。 这就有点无聊了，就像你问我“今天吃啥”，我回答“今天吃啥”，然后你说“那昨天呢”，我也回答“昨天我也吃啥”。数学界里，这俩概念简直就是互殴。 再说说实际应用场景。在那些程序员写的代码里，时常见到 `Math.pow(tan(x), 2)` 这种写法。它的意思就是先算 tan(x)，再把结局平方。
一般为了防弹，程序员会算两遍。
第一遍直接算 tan 的平方，第二遍再算 tan 的平方。
这就像一个人要过河，他明明知道桥在那边，但他还是得先数数过桥步数，然后回头再数一次。 哪怕是在最正规的考试卷子上，这题也常出现。
比如题目里给个角度，让你求 tan²。
这时候你不用管具体的数值，直接往 1 靠。毕竟 tan 的值嘛，它本身就代表“比值”的平方。你不管它是不是真比值，反正它的平方，那个定义就不变了。 有时候，我们会认定这题忒好办，好办到让人认定它是个笑话。就像有人问“你有多高”，你回答“一米八”。对方可能认定：“哈，这你猜啊。”然后持续问：“那你的名字呢？”你回答“张三”。对方没反应，持续问：“你几岁？”你回答“1995 年出生”。
这时候天就亮了。 在那些复杂的几何题里，tan² 还时常作为中间变量出现。
比如你要算某个扇形的面积，公式里可能需求用到 tan 的值。
这时候，要是你直接代入 tan，再平方，那公式就复杂了。为了省事，大量出题人直接拿 tan² 进公式，等于说，“算了，你直接来吧，反正平方这步，大家都能搞懂”。 有时候，你当作 tan² 等于 1 就是万事大吉，实际上不然。在某些特殊情况下，比如当角度是 0 度时，tan 是 0，那 tan² 就是 0。
这时候 0 就是 0，这没啥争议。但要是角度接近 90 度，tan 趋向无穷大，那 tan² 也趋向无穷大。
这时候再平方，那更是无穷大了。
这就像你问“忒阳如此大，它有多大”，忒阳没那么大，忒阳也还是忒阳。 还有人说这题不该考，不该考到这种地步。
确实，生活中我们极少用到 tan²。我们主要用到 tan、cot、sin、cos 这些根本的三角函数。
要是考 tan²，那说明你学校学的忒死板，要么你是在跟一个考数学的怪胎打游戏。 在那些高难度的竞赛题里，tan² 的频率会下降。出于它忒“常见”了，以至于大家都默认它等于 1，要么等于其他已知值。就像在街上问路，大家都默认“去高速公路”，你问“那到不了吗”，对方回答“自然到了”。 不过，间或拿出来考一考，确实能看出一个人的数学功底。
比如一个学生，在做题的时候，看到 tan²，他第一反应是不是直接写 1？这挺正常，毕竟数学界为了简洁，总喜爱用缩写。就像大家总说“乘法”，实际上“乘”就是“乘”。 故此，最终总结一下。tan 的平方，这事儿实际上挺好办的。它就是个比值平起来的值。在大多数情况下，它就是 1。在极少数特殊点，它可能是 0，要么是无穷大。 别在那儿纠结“起初、其次、最终”，也别想“总而言之”。
这题就这题。你要么算出来，要么就接纳它是个“挺了得”的数。
毕竟，数学这东西，有时候就是靠直觉，要么靠“这题挺好办，反正我不会做，但我认定它应当等于 1"这种直觉来驱动的。 故此说，tan²，等于 1。等于 1。还是等于 1。
这就够了。